¿Cuál es la diferencia entre CÍRCULO y CIRCUNFERENCIA? El círculo es una figura con área, mientras que la circunferencia Haz este experimento: dibuja un círculo y traza alguno de sus diámetros; corta Hazlo ahora con otra circunferencia. ¿Viste? Otra vez tres veces y un cachito. Interesante... | |
Traza  otro círculo y divide lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro. (Puedes medir la circunferencia colocando un cordón sobre ella y luego midiendo el cordón.) ¿Tu resultado es parecido a 3.1416? Hazlo cuantas veces quieras: el resultado siempre se parece a 3.1416. Es decir, en ambos experimentos tenemos que el diámetro cabe tres veces en la circunferencia y sobra un cachito. | |
Estos resultados son sólo aproximaciones. El resultado exacto, Antes del siglo XVIII no se tenía un símbolo para esta división, lo que los matemáticos solían escribir eran frases como ésta: quantitas, in quam cum multiplicetur diameter, proveniet circumferentia (la cantidad que, cuando es multiplicada por el diámetro, resulta en la circunferencia). | |
La letra griega | |
ó g i c a
El famoso escritor y matemático Lewis Carroll (1832 - 1898) inventó muchos juegos de lógica y matemáticas recreativas. Además de ser divertidos son muy formativos y ayudan a los estudiantes a comprender cual es el papel que juega la lógica en las matemáticas.
Aquí encontrarás dos juegos de lógica inventados por Lewis Carroll.....
| ¿ C u á l .. e s .. l a .. c o n c l u s i ó n .. c o r r e c t a ? |
Este juego puede proponerse a estudiantes a partir de primero de secundaria, recomendamos que se trabaje en equipo.
En cada inciso encontrarás dos frases y después dos posibles conclusiones. Tú debes decidir cuál es la correcta, es decir cuál es la que se deduce lógicamente de las frases anteriores. Es muy importante señalar que no importa si las frases o las conclusiones son verdaderas o falsas, se trata únicamente de averiguar cuál conclusión es la que se obtiene de las dos premisas dadas.
1 Todos los leones son feroces
2 Algunos leones no beben 
café
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Algunas criaturas que beben café no son feroces
b Algunas criaturas feroces no beben café
1 Algunos sueños son terribles
2 Ningún 
borrego es terrible
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Algunos sueños no son borregos
b algunos borregos no son sueños
1 Ningún profesor es ignorante
2 Todas las personas ignorantes beben agua con 
jabón
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Ningún profesor bebe agua con jabón
b Algunas personas que beben agua con jabón no son profesores.
1 Un hombre prudente huye de los gorilas
2 Ningún 
fotógrafo es imprudente
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Ningún fotógrafo deja de huir de los gorilas
b Ningún gorila se acerca a un fotógrafo
1 Ningún 
chimpancé habla polaco
2 Todos los chimpancés son comelones
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Algunas criaturas comelonas no hablan polaco
b Algunos criaturas que hablan polaco no son comelonas
1 Algunas almohadas son blandas
2 Ninguna 
sartén es blanda
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Algunas sartenes no son almohadas
b Algunas almohadas no son sartenes
1 Las historias improbables no son fáciles de creer
2 Ninguna de las historias de 
Anselmo es probable
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Ninguna de las historias de Anselmo es fácil de creer
b Todas las historias difíciles de creer son de Anselmo
1 Ningún 
pájaro, excepto los gorriones, está orgulloso de su cola
2 Algunos pájaros que están orgullosos de sus colas, no pueden cantar
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Algunos gorriones no pueden cantar
b Algunas criaturas, que están orgullosas de sus colas, pueden cantar.
1 Ninguna 
cama con clavos es cómoda
2 Ningún objeto incómodo es popular
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Ninguna cama con clavos es popular
b Todos los objetos que no son populares tiene clavos
1 Ningún emperador es 
dentista
2 Todos los dentistas son temidos por los niños
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Ningún emperador es temido por los niños
b Algunas personas, temidas por los niños, no son emperadores
1 Todas las águilas pueden volar
2 Algunos 
cerdos no pueden volar
¿Cuál es la conclusión correcta?
a Algunos cerdos no son águilas
b Algunas águilas no son cerdos
Estos juegos están publicados en el libro de Lewis Carroll LÓGICA SIMBÓLICA
| J u g a n d o .. c o n .. p a l a b r a s |
Este juego puede jugarse a partir de cuarto de primaria.
El objetivo del juego es transformar una palabra en otra siguiendo estas reglas.
1 En cada paso únicamente se puede cambiar una letra.
2 Todas las palabras deberán tener significado.
3 No se admiten faltas de ortografía.
4 No se admiten nombres propios.
5 No se puede agregar ni quitar letras
Ejemplos:
Transformar la palabra 
SOL en la palabra 
MAR
SOL
SAL se cambió la O por una A
MAL se cambió la S por una M
MAR se cambió la L por una R
En esta cadena, se cambió una letra en cada paso, todas las palabras tienen significado, no hay faltas de ortografía, no agregamos ni quitamos letras y no usamos nombres propios. Es decir seguimos todas las reglas.
Transformar la palabra 
LUNA en la palabra 
FOCO
LUNA
LONA se cambió la U por la O
LOCA se cambió la N por la C
FOCA se cambió la L por la F
FOCO se cambió la A por la O
Nota: es muy importante darse cuenta de que hay muchos caminos para llegar de una palabra a otra. Unos son largos, otros cortos, unos difíciles y otros fáciles, pero todos son correctos si cumplen las reglas.
¡A jugar!
1 Transformar la palabra CALOR en la palabra VOLAR
2 Transformar la palabra AMAR en la palabra USAR
3 Transformar la palabra NIÑO en la palabra CUNA
4 Transformar la palabra 
PLATO en la palabra PLANO
5 Transformar la palabra CASA en la palabra POZO
6 Transformar la palabra CURA en la palabra RUSO
Se le puede pedir a los niños y niñas que inventen sus propios juegos y se los propongan al grupo.l
| Esta actividad está dirigida a estudiantes de primero de secundaria en adelante. Se trata de resolver problemas de álgebra que fueron inventados por un matemático francés del siglo XV: Nicolás Chuquet. Si sabes álgebra puedes intentar resolverlos usándola, si no usa tu intuición y tu sentido común pues al fin en matemáticas se puede llegar a una solución por caminos muy distintos.
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| Problema 1
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| Problema 2
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| Problema 3
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| Problema 4
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| Problema 5
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| Problema 6
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un cordón del tamaño del diámetro y verifica cuántas veces cabe el cordón sobre la circunferencia. Notarás que cabe tres veces y sobra un poquito. 
, no es exactamente igual a 3.1416. Los matemáticos llaman 
circunferencia de un círculo entre lo que mide su diámetro. Este valor tiene un papel fundamental en las matemáticas.
tela se tiñe de la siguiente manera: 
migo o enemigo| Todos los habitantes de un
Si al amigo lo marcamos con un + y al enemigo con un -, tendríamos
que son, justamente, las reglas para multiplicar números enteros. P or ejemplo: (+5)(-7) = (-35) (-3)(-6) = (+18) ¡Un poco de práctica siempre es buena! Completa la siguiente tabla
Ya eres todo un experto en multiplicar números enteros. |
¿Has leído Veinte mil leguas de viaje submarino de Julio Verne? En esta actividad vamos a hacer algo que los marinos han hecho por cientos de años. Realmente lo único que necesitas es poner mucha atención al dibujo.
Si el Un pez volador se encuentra a un metro bajo el nivel del mar y da un salto de 2 metros ¿qué altura alcanzó sobre el nivel del mar? Un buzo se encuentra a 100 mts. bajo el nivel del mar y baja 50 metros más ¿donde se encuentra ahora? Simbolicemos
¿Dónde se encuentra el submarino? Todo junto se escribe: Escribe las preguntas de arriba con símbolos y escribe la respuesta que habías encontrado con el signo que le corresponda.
Si el avión se encuentra a 1500 mts. de altura sobre el nivel del Un pez volador se encuentra a un metro bajo el nivel del mar y da un salto de 2 metros ¿qué altura alcanzó sobre el nivel del mar? (-1) + 2 = 1
(-100) – (50) = - 150 El buzo se encuentra a 150 metros bajo el nivel del mar. Aquí tienes varias operaciones; di si el resultado está sobre o bajo el nivel del mar. Haz un dibujo e inventa una historia para cada operación. Discútelas con tus compañeros.
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| A partir de segundo de secundaria, cuando los estudiantes están aprendiendo a resolver ecuaciones de primer grado, es muy útil plantear juegos como los que proponemos a continuación, pues además de que los alumnos se divierten, se dan cuenta de la importancia del lenguaje algebraico. Una posible manera de jugar es hacer primero los trucos y pedir a los estudiantes que averigüen lo que está sucediendo, después de que se discuta cómo es que se llega a la solución puede plantearse el problema algebraicamente. ¿Le has pedido alguna vez a alguien que piense un número y que haga varias operaciones con él para que tú después le adivines el número en que pensó? Empecemos con un ejemplo:
El resultado es 3 El resultado siempre es 3, no importa con que número se haya empezado. ¿Cómo funciona el truco? Hagamos una tabla con varios ejemplos:
En efecto, en los cuatro casos el resultado es 3, pero esto no es una prueba de que el truco siempre funcione y de que para cualquier número que se elija el resultado final será 3. Tenemos que imaginar una forma para lograr demostrar que no importa con que número empecemos, el resultado siempre será 3, y para eso tenemos que pensar en una forma de realmente empezar con cualquier número. Proponemos que en lugar de empezar con un número concreto, usemos un cuadrito para representar eso que llamamos "cualquier número", es decir para representar a todos los números. Para representar los número que sí conocemos usaremos circulitos.
El resultado siempre es 3 Aunque parezca mentira, lo que acabamos de escribir, sí es una demostración, pues no importa que número sea el cuadrito , el resultado siempre es 3. Sin embargo, los cuadritos y los circulitos no son lo más cómodo para escribir matemáticas, es mucho más útil usar el lenguaje matemático, en este caso el lenguaje algebraico. La misma prueba usando este lenguaje quedaría:
El resultado siempre es 3 Te proponemos, a continuación, una serie de trucos de este mismo estilo.
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En esta actividad se pueden trabajar los siguientes conceptos:
Material:
¡Vamos a ponerle nombrea los triángulos!
Existen muchos tipos de triángulos y todos ellos se pueden clasificar de dos formas distintas:
Por el tamaño de sus lados
Por la medida de sus ángulos
Por el tamaño de sus lados:
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales, o sea, sus tres lados miden los mismo.
Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales, o sea, tiene dos lados que miden lo mismo.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados distintos, o sea, sus tres lados tienen medidas distintas.
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90º, o sea uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.
Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos, o sea, sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, o sea, uno de sus ángulos interiores es mayor que 90°.
Los triángulos que nos interesan en esta actividad son justamente los Triángulos rectángulos
¿Cómo es un triángulo rectángulo escaleno?
¿Cómo es un triángulo rectángulo isósceles?
¿Podrá existir un triángulo rectángulo equilátero? ¿por qué?
Actividad 1
Entre todos estos triángulos encuentra los que son rectángulos:
¿Qué tal si aprendemos a trazar triángulos rectángulos sin usar el transportador?
¡SALE!
Un ángulo de 90º se forma por dos rectas PERPENDICULARES, así que en todo triángulo rectángulo forzosamente dos de sus lados tendrán que ser PERPENDICULARES.
Para trazar dos rectas perpendiculares:
Con la regla dibuja una línea recta
Coloca la punta del compás en uno de los extremos de la recta y ábrelo hasta llegar al otro extremo de la recta.
· 
Con el compás así colocado, traza un pedazo de circunferencia por encima de la recta y otro por debajo.
Ahora coloca la punta del compás en el otro extremo de la recta y con la misma abertura haz los mismos trazos que en el paso anterior.
Marca con un punto el lugar donde se cortan los dos pedazos de circunferencia de arriba y con otro el lugar donde se cortan los dos pedazos de circunferencia de abajo.
Une los dos puntos que acabas de dibujar con una recta.
Las dos rectas que quedaron son PERPENDICULARES, es decir, forman un ángulo de 90º!
Con este procedimiento la recta perpendicular pasa justo por la mitad de la recta que teníamos al principio.
¿Qué tendríamos que hacer si quisiéramos que la recta perpendicular cayera sobre uno de los extremos de la recta original?
¡Claro!, tendríamos que prolongar la recta así, con otra recta de la misma longitud.
Para que al trazar la perpendicular, cayera en uno de los extremos.
Ahora sí, ya sabemos trazar triángulos rectángulos, basta con trazar dos rectas perpendiculares y después trazar el tercer lado.
Actividad 2
Sobre cada una de estas rectas, traza un triángulo rectángulo. la recta deberá ser uno de los lados.
Bautizando lados de un triángulo:
Los tres lados de un triángulo rectángulo tienen nombre:
Los lados que forman el ángulo recto se llaman CATETOS
El lado que no toca al ángulo recto se llama HIPOTENUSA
Actividad 3
En cada uno de estos triángulos haz lo siguiente:
Sobre cada uno de los lados traza un cuadrado (recuerda que los lados de los cuadrados son rectas perpendiculares)
Así:
· Calcula el área de cada uno de los cuadrados
· Suma las áreas de los dos cuadrados pequeños y compara el resultado con el área del cuadrado grande
¿qué ocurre?
Ahora haz lo mismo en estos triángulos
¿qué ocurre?
En el siglo VI antes de Cristo, un gran matemático griego llamado Pitágoras, demostró lo que hoy se conoce justamente como "el teorema de Pitágoras".
El Teorema dice dos cosas:
cuadrado del otro cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa.En la actividad 2 que acabas de realizar, ¿en dónde aparece el teorema de Pitágoras?
¡Anímate!
Verticales
1) 3x + 2 = 32
2) x/5 = 16
3) 2x + 8 = 440
5) 2x - 9 = x + 18
8) 9x + 9 = 900
9) ¼ x - 2 = 250
13) x/3 - 11 = x - 233
15) x + 5 = 2x - 80
Horizontales
3) 7x - 4 = 171
4) 8x - 920 = 7,080
6) ½ x + 8 = 88
7) 5x = 35,745
10) 4x - 4 = 3x + 6
11) 5/2 x + 40 = 500
12) x/9 - 43 = 1,000
14) x/7 - 5 = 0
16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8
arcos en alta mar
| ¿Has jugado submarino alguna vez?
Tu barco es el punto O de coordenadas (0,0) que se encuentra exactamente en el centro de la pantalla.
¡Muy bien!, Estás listo para ser un gran |
pueblo están divididos en dos bandos enemigos. Así, los que viven ahí siempre siguen estas reglas:
libro genial que te recomendamos mucho.
avión se encuentra a 1500 mts. de altura sobre el nivel del mar, y manda una onda sonora para saber que profundidad tiene el mar en esa zona y la lectura dice que tiene una profundidad de 3500 mts. bajo el nivel del mar.¿Cuántos metros viajó la onda?
mar su distancia será positiva ( 6 km. , 35 m., 437millas, …)
mar, y manda una onda sonora para saber que profundidad tiene el mar en esa zona y la lectura dice que tiene una profundidad de 3500 mts. bajo el nivel del mar.¿Cuántos metros viajó la onda?
pez está a 1m. sobre el nivel del mar.
mar y que tú estás en él. Tu barco, como casi todos tiene un radar. El siguiente dibujo representa la pantalla circular del radar, donde cada lado de un cuadrito representa 10 km.
marino
ey de los senos |
En cada uno de los
Lo que acabas de comprobar es que en cualquier triángulo siempre se cumple que: a/sen A = b/sen B = c/senC
|
Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. Por ejemplo, el polígono que tiene ocho ángulos y ocho lados iguales se llama octágono regular.
Otra vez, el triángulo y el cuadrilátero regulares son excepciones.
¿Cómo le llamamos normalmente a un triángulo regular?
¿Y a un cuadrilátero regular?
Como los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, es muy fácil calcular cuánto miden sus ángulos internos y sus ángulos externos. En general, cuando se habla de los ángulos internos de un polígono, se le refiere en singular, es decir se dice el ángulo interno del polígono, porque es el mismo valor para todos los ángulos.
Para verificar que hablamos en los mismos términos, establezcamos que el ángulo interno de un polígono es el ángulo que forman dos lados que se tocan,
y el ángulo externo es aquel que forman un lado y la prolongación de otro que lo toca.
Una cosa más antes de empezar a calcular cuánto miden el ángulo interno y el ángulo externo de un polígono. Hace más de dos mil años, el matemático griego Euclides demostró que la suma de los tres ángulos internos de cualquier triángulo es exactamente 180º.
Ahora sí, empecemos... Tomemos como ejemplo un octágono. Lo primero que hacemos es dividir al octágono en triángulos trazando líneas desde uno de los vértices.
Fíjate que con estas líneas que trazamos hemos distribuido a los ángulos del octágono en diferentes triángulos. Por lo tanto, podemos decir que los ángulos de los triángulos forman los ángulos del octágono. Como hemos formado seis triángulos y como los ángulos de cada uno de ellos suman 180º, sabemos que la suma total de todos los ángulos del octágono es igual a lo que vale la suma de los ángulos en cada triángulo, es decir, 6 x 180º o sea 1080º.
Por lo tanto, la suma de los ocho ángulos del octágono regular es de 1080º. Ahora, como sabemos que todos los ángulos del octágono regular miden lo mismo, para saber cuánto mide cada uno de ellos, hay que dividir 1080º entre ocho. Luego, cada uno de los ángulos internos de un octágono regular mide 135º.
El ángulo interno y el ángulo externo son suplementarios, es decir, suman 180°. Así que para saber cuánto mide el ángulo exterior del octágono, sólo hay que restar 135° de 180°. El ángulo externo de un octágono mide 45°.
***
Para poder sacar un fórmula, necesitamos hacer un generalización: saber cuántos triángulos se forman cuando trazamos diagonales desde un solo vértice.
En el caso del cuadrado, podemos trazar una única diagonal y obtenemos dos triángulos.
En el caso de un pentágono, podemos trazar dos diagonales y obtener tres triángulos.
Traza las diagonales de estos polígonos para que puedas llenar la siguiente tabla. Recuerda que sólo hay que trazar las diagonales desde uno de los vértices.
Número de lados | Número de diagonales | Número de triángulos |
4 | 1 | 2 |
5 | 2 | 3 |
6 | 3 |
|
7 |
| 5 |
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
14 |
|
|
23 |
|
|
100 |
|
|
¿Podrías decir a partir de esta tabla cuál es la regla?
En matemáticas decimos que si n es el número de lados del polígono, desde un vértice se pueden trazar ( n -3) diagonales y obtenemos ( n -2) triángulos.
Ya casi acabamos. Recuerda que para saber cuánto mide el ángulo interno del octágono multiplicamos 6 x 180º (es decir, multiplicamos el número de triángulos por la cantidad que suman los ángulos internos de cada uno de ellos) y al final dividimos esta cantidad entre ocho, el número de lados del octágono.
Es eso precisamente lo que tenemos que hacer con cualquier polígono: multiplicar el número de triángulos ( n -2) por 180° y dividirlo entre el número de lados ( n ). La fórmula general queda entonces así:
Si n es el número de lados del polígono,
Ángulo interno = 
Y para el ángulo externo, hay que restar esa cantidad de 180°, es decir
Ángulo externo = 180° –
Para terminar, hagamos un ejemplo. Calculemos los ángulos interno y externo de un eneágono. Como el número de lados es igual a 9,
Ángulo interno = = 
= 
= 
= 140°
Ángulo externo = 180° – = 180° – = 180° – 140° = 40°
triángulos, mide los tres ángulos y los tres lados. Con los datos que obtuviste, completa las tablas.
tablas cuidadosamente.